问题1的解答
矩阵 A 的逆矩阵
写出增广矩阵 \( [ A | I ] \)
\[ \begin{bmatrix}
-1&-1&1&|&1&0&0\\
2&0&-2&|&0&1&0 \\
1 & 1 & 1 &|& 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \]
步骤 1
\[
\color{red}{ \begin{matrix}
-R_1\\
\\
\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
1&1&-1&|&-1&0&0\\
2&0&-2&|&0&1&0 \\
1 & 1 & 1 &|& 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
步骤 2
\[
\color{red}{ \begin{matrix}
\\
R_2-2R_1 \\
\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
1&1&-1&|&-1&0&0\\
0&-2&0&|&2&1&0 \\
1 & 1 & 1 &|& 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \]
步骤 3
\[
\color{red}{ \begin{matrix}
\\
\\
R_3-R_1\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
1&1&-1&|&-1&0&0\\
0&-2&0&|&2&1&0 \\
0 & 0 & 2 &|& 1 & 0 & 1
\end{bmatrix} \]
步骤 4
\[
\color{red}{ \begin{matrix}
\\
R_2=(-1/2)R_2\\
R_3=(1/2)R_3\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
1&1&-1&|&-1&0&0\\
0&1&0&|&-1&-1/2&0 \\
0 & 0 & 1 &|& 1/2 & 0 & 1/2
\end{bmatrix} \]
步骤 5
\[
\color{red}{ \begin{matrix}
R_1+R_3\\
\\
\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
1&1&0&|&-1/2&0&1/2\\
0&1&0&|&-1&-1/2&0 \\
0 & 0 & 1 &|& 1/2 & 0 & 1/2
\end{bmatrix} \]
步骤 6
\[
\color{red}{ \begin{matrix}
R_1-R_2\\
\\
\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
1&0&0&|&1/2&1/2&1/2\\
0&1&0&|&-1&-1/2&0 \\
0 & 0 & 1 &|& 1/2 & 0 & 1/2
\end{bmatrix} \]
矩阵 A 的逆矩阵是右侧的 3 x 3 矩阵。 因此
\[ A^{-1} = \begin{bmatrix}
1/2&1/2&1/2\\
-1&-1/2&0 \\
1/2 & 0 & 1/2
\end{bmatrix} \]
矩阵 B 的逆矩阵
写出增广矩阵 \( [ B | I ] \)
\[ \begin{bmatrix}
1&0&1&2 & |&1&0&0&0\\
-1& 1 & 2 & 0 &|&0&1&0&0 \\
-2& 0 & 1 & 2 &|& 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & |& 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \]
步骤 1
\[
\color{red}{ \begin{matrix}
\\
R_2+R_1\\
R_3+2R_1\\
\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
1&0&1&2 & |&1&0&0&0\\
0& 1 & 3 & 2 &|&1&1&0&0 \\
0& 0 & 3 & 6 &|& 2 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & |& 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
步骤 2
\[
\color{red}{ \begin{matrix}
\\
\\
(1/3) R_3\\
\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
1&0&1&2 & |&1&0&0&0\\
0& 1 & 3 & 2 &|&1&1&0&0 \\
0& 0 & 1 & 2 &|& 2/3 & 0 & 1/3 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & |& 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
步骤 3
\[
\color{red}{ \begin{matrix}
R_1-2R_4\\
R_2-2R_4\\
R_3-2R_4\\
\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
1&0&1&0 & |&1&0&0&-2\\
0& 1 & 3 & 0 &|&1&1&0&-2 \\
0& 0 & 1 & 0 &|& 2/3 & 0 & 1/3 & -2\\
0 & 0 & 0 & 1 & |& 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
步骤 4
\[
\color{red}{ \begin{matrix}
R_1-R_3\\
R_2-3R_3\\
\\
\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
1&0&1&0 & |&1/3&0&-1/3&0\\
0& 1 & 0 & 0 &|&-1&1&-1&4 \\
0& 0 & 1 & 0 &|& 2/3 & 0 & 1/3 & -2\\
0 & 0 & 0 & 1 & |& 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
矩阵 B 的逆矩阵是右侧的 4 x 4 矩阵。 因此
\[ B^{-1} = \begin{bmatrix}
1/3&0&-1/3&0\\
-1&1&-1&4 \\
2/3 & 0 & 1/3 & -2\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \]
问题2的解答
我们首先找到未成年人。
\( M_{1,1} = Det \begin{bmatrix}
.&.&.\\
.&2&2 \\
.& 0 & 1
\end{bmatrix} = 2\) ,
\( M_{1,2} = Det \begin{bmatrix}
.&.&.\\
3&.&2 \\
0& . & 1
\end{bmatrix} = 3\) ,
\( M_{1,3} = Det \begin{bmatrix}
.&.&.\\
3&2&. \\
0& 0 & .
\end{bmatrix} = 0 \)
\( M_{2,1} = Det \begin{bmatrix}
.&0&3\\
.&.&. \\
.& 0 & 1
\end{bmatrix} = 0\) ,
\( M_{2,2} = Det \begin{bmatrix}
-1&.&3\\
. & . & . \\
0& . & 1
\end{bmatrix} = -1\) ,
\( M_{2,3} = Det \begin{bmatrix}
-1&0&.\\
. & . & .\\
0& 0 & .
\end{bmatrix} = 0\)
\( M_{3,1} = Det \begin{bmatrix}
.&0&3\\
.&2&2 \\
. & . & .
\end{bmatrix} = - 6\) ,
\( M_{3,2} = Det \begin{bmatrix}
-1&.&3\\
3&.&2 \\
. & . & .
\end{bmatrix} = - 11\) ,
\( M_{3,3} = Det \begin{bmatrix}
-1&0& .\\
3&2& . \\
. & . & .
\end{bmatrix} = - 2\)
辅因子矩阵 C 的条目定义为
\( C_{i,j} = (-1)^{i+j} M_{i,j} \)
\[ C = \begin{bmatrix}
2&-3&0\\
0&-1&0 \\
- 6 & 11 & -2
\end{bmatrix} \]
我们需要使用第三行找到 A 的行列式 D（它有 2 个零！）
\( D = A_{3,3} M_{3,3} = - 2 \)
矩阵 A 的逆矩阵由下式给出
\( A^{-1} = \dfrac{1}{D} C^T = -\dfrac{1}{2} \begin{bmatrix} 2&0&-6\\ -3&-1&11\\ 0&0&-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1&0&3\\ \dfrac{3}{2}& \dfrac{1}{2} & -\dfrac{11}{2}\\ 0&0&1\end{bmatrix}\)
问题3的解答
给定
\( A B = C \)
两边右乘以 \( B^{-1} \)
\( A B B^{-1} = C B^{-1}\)
在左侧使用关联性
\( A (B B^{-1}) = C B^{-1} \)
简化
\( A I = C B^{-1} \)
\( A = C B^{-1} \)
使用 2 x 2 矩阵的逆公式求出 B 的逆矩阵。
\( Det(B) = -3 \)
\( B^{-1} = - \dfrac{1}{3} \begin{bmatrix}
1&1\\
2& -1
\end{bmatrix} \)
\( A = C B^{-1} = \begin{bmatrix}
2 & -1\\
-2 & 2
\end{bmatrix} (- \dfrac{1}{3}) \begin{bmatrix}
1&1\\
2& -1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0&-1\\
-2/3& 4/3
\end{bmatrix}\)
注意：您可以通过代入方程 \( A B = C \) 来检查矩阵 A 的答案
问题4的解答
如果矩阵的行列式不等于零，则该矩阵是可逆的。
a) 使用第二列，
Det\(
\begin{bmatrix}
k & -1 & 4\\
2 & 0 & 1\\
-1 & 0 & -1
\end{bmatrix} = - 1\)
该矩阵对于任何 k 个实数都是可逆的
b) Det\( \begin{bmatrix}
k & -1 \\
-1 & 3
\end{bmatrix} = 3k - 1\)
\( 3k - 1 \ne 0 \)
\( k \ne 1/3 \)
对于 k 不等于 1/3 的所有实数值，b) 部分中的矩阵是可逆的。
c) 给定矩阵是上三角矩阵，其行列式等于从左到右对角线中各项的乘积。
Det \(
\begin{bmatrix}
k & -1 & 4\\
0 & k + 1 & 1\\
0 & 0 & k -3
\end{bmatrix} k(k+1)(k-3)\)
\( k(k+1)(k-3) \ne 0 \)
如果 k 不等于 0、- 1 或 3，则给定矩阵可逆。
问题5的解答
将等式两边右乘以 \( S^{-1} \)
\( P S^{-1} = Q R^{-1} S S^{-1} \)
简化
\( P S^{-1} = Q R^{-1} I \)
\( P S^{-1} = Q R^{-1} \)
将等式两边左乘以 \( Q^{-1} \)
\( Q^{-1} P S^{-1} = Q^{-1} Q R^{-1} \)
简化
\( Q^{-1} P S^{-1} = I R^{-1}\)
\( Q^{-1} P S^{-1} = R^{-1} \)
两边取逆
\( (Q^{-1} P S^{-1})^{-1} = (R^{-1})^{-1} \)
简化
\( R = S P^{-1} Q \)
问题6的解答
写出增广矩阵 \( [ A | I ]\)
\( \begin{bmatrix}
a & 0 & 0 & 0&|&1&0&0&0\\
0 & b & 0 & 0&|&0&1&0&0 \\
0 & 0 & c & 0 &|& 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & d &|& 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \)
将行 (1) 乘以 1/a、行 (2) 乘以 1/b、行 (3) 乘以 1/c、行 (4) 乘以 1/d 并化简
\( \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0&|&1/a&0&0&0\\
0 & 1 & 0 & 0&|&0&1/b&0&0 \\
0 & 0 & 1 & 0 &|& 0 & 0 & 1/c & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 &|& 0 & 0 & 0 & 1/d
\end{bmatrix} \)
给定矩阵的逆矩阵是
\( A^{-1} = \begin{bmatrix}
1/a&0&0&0\\
0&1/b&0&0 \\
0 & 0 & 1/c & 0\\
0 & 0 & 0 & 1/d
\end{bmatrix} \)
问题7的解答
该系统的形式为
A X = B with A = \(
\begin{bmatrix}
1&0&1&2\\
-1& 1 & 2 & 0 \\
-2& 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \) , \( B =\begin{bmatrix}
0\\
1 \\
-1\\
2
\end{bmatrix}
\) and \( X = \begin{bmatrix}
x_1\\
x_2 \\
x_3\\
x_4
\end{bmatrix} \)
将等式两边右乘以 \( A^{-1} \) 并化简。
\( A^{-1} A X = A^{-1} B \)
\( I_3 X = A^{-1} B , I_3 \) 是 3 x 3 单位矩阵
简化上面的
\( X = A^{-1} B \)
矩阵 A 的逆矩阵在问题 1 中计算，由下式给出（它是问题 1 中的矩阵 B）
\( A^{-1} = \begin{bmatrix} 1/3&0&-1/3&0\\
-1&1&-1&4 \\
2/3 & 0 & 1/3 & -2\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\)
\( \begin{bmatrix}
x_1\\
x_2 \\
x_3\\
x_4
\end{bmatrix} = A^{-1} B = \begin{bmatrix} 1/3&0&-1/3&0\\
-1&1&-1&4 \\
2/3 & 0 & 1/3 & -2\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
0\\
1 \\
-1\\
2
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\dfrac{1}{3}\\ 10\\ -\dfrac{13}{3}\\ 2\end{bmatrix}\)
问题8的解答
由于矩阵 A 对于所有给定系统都是通用的，因此求解以下形式的方程组的最有效方法
\( A X_1 = B_1 \) , \( A X_2 = B_2 \) , \( A X_3 = B_3 \) ... \( A X_2 = B_i \)
就是求矩阵A的逆并求解如下（见上面问题7）
\( X_1 = A^{-1} B_1 \) , \( X_2 = A^{-1} B_2 \) , \( X_3 = A^{-1} B_3 \) ... \( X_i = A^{-1} B_i \)
问题9的解答
A 和 B 是相同维度的可逆矩阵，相关关系为：\( A^{-1} = A B \)。
根据 A 或其逆来求 B。
将方程右乘以 \( A^{-1} \)
\( A^{-1} A^{-1} = A^{-1} A B \)
简化
\( A^{-1} A^{-1} = I B \)
简化为
\( B = A^{-2}\)
问题10的解答
这个问题的两个部分都有很多可能的答案。
1)
\(A = \begin{bmatrix} 1 & 1\\
0 & 0 \\
\end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} 0 & 0\\
- 1 & 1 \\
\end{bmatrix} \) ,
\(A + B = \begin{bmatrix} 1 & 1\\
- 1 & 0 \\
\end{bmatrix} \)
2) \(A = \begin{bmatrix} 3 & 1\\
0 & 0 \\
\end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} 0 & 0\\
- 1 & 4 \\
\end{bmatrix} \) ,
\(A - B = \begin{bmatrix} 3 & 1\\
1 & - 4 \\
\end{bmatrix} \)
检查矩阵 A 和 B 的行列式是否等于 0，因此不可逆。 检查 A + B 和 A - B 的行列式不等于 0，因此可逆。
问题11的解答
让 \(A = \begin{bmatrix} a & b\\
c & d \\
\end{bmatrix} \)
我们将使用辅因子的方法。 我们首先计算未成年人
\( M_{1,1} = d\) , \( M_{1,2} = c\) , \( M_{2,1} = b\) , \( M_{2,2} = a\)
Then the cofactors using the formula: \( C_{i,j} = (-1)^{i+j}M_{i,j} \)
\( C_{1,1} = d\) , \( C_{1,2} = - c\) , \( C_{2,1} = - b\) , \( C_{2,2} = a\)
A 的行列式是
\( D = a d - b c \)
\( A^{-1} = \dfrac{1}{a d - b c} \begin{bmatrix} d & - c\\
- d & a \\
\end{bmatrix}^T = \dfrac{1}{a d - b c} \begin{bmatrix} d & - d\\
- c & a \\
\end{bmatrix} \)
问题12的解答
解可以写成矩阵形式如下
\( A \begin{bmatrix}
-1 & 0 & 1 \\
2 & - 1 & 1\\
3 & 1 & 1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
5 & 4 & 4\\
17 & 2 & 5\\
5 & 2 & 3
\end{bmatrix} \)
which gives
\( A = \begin{bmatrix}
5 & 4 & 4\\
17 & 2 & 5\\
5 & 2 & 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 1 \\
2 & - 1 & 1\\
3 & 1 & 1
\end{bmatrix}^{-1} \)
这给出了
\( A^{-1} =
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 1 \\
2 & - 1 & 1\\
3 & 1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
5 & 4 & 4\\
17 & 2 & 5\\
5 & 2 & 3
\end{bmatrix}^{-1}
\)
解 X 由下式给出
\( X = A^{-1} B = \begin{bmatrix}
-1 & 0 & 1 \\
2 & - 1 & 1\\
3 & 1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
5 & 4 & 4\\
17 & 2 & 5\\
5 & 2 & 3
\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}
1\\
-9 \\
-1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1\\
-2 \\
-1
\end{bmatrix} \)